Persamaan Kuadrat dan Penyelesaiannya

Sahabat portal ilmu, kali ini kita akan membahas salah satu materi dalam mata pelajaran Matematika untuk SMA kelas X. Materi ini berhubungan dengan persamaan kuadrat dan penyelesaiannya.

Disini nanti akan dijelaskan ketiga cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Bahkan, juga akan diberikan contoh persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan ketiga cara tersebut untuk memudahkan sahabat dalam menerapkan rumus yang dimaksudkan.

Mari disimak dengan baik-baik penjelasan di bawah ini. Agar kalian dapat menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan persamaan kuadrat sahabat portal ilmu.

Persamaan Kuadrat dan Penyelesaiannya

Bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu

ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c, Є R dan a ≠ 0.

x merupakan variabel atau peubah.

a merupakan koefisien x2.

b merupakan koefisien x

c merupakan konstanta atau suku tetap.

Contoh dari bentuk persamaan kuadrat dengan a koefisien x2, b koefisien x, dan c konstanta dari ax2+bx+c=0.

x2 + 50x – 22.000 = 0 dengan a= 1, b= 50, dan c= -22.000

4x2 – x + 23 = 0, dengan a= 4, b= -1, dan c= 23

Menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 berarti mencari nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan dengan akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara faktorisasi, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Faktorisasi

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, menggunakan sifat perkalian berikut ini.

Jika ab= 0, maka a= 0 atau b= 0

Penerapannya dengan cara mengubah bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (ax + α)(x + β) = 0, lalu menyelesaikan bentuk terakhir menggunakan sifat perkalian. Cara menentukan α dan β yang bersesuaian. Masalah ini akan dibagi ke dalam dua kasus, yaitu sebagai berikut

1. Kasus a = 1

Bentuk umum persamaan kuadrat menjadi x2 + bx + c = 0. Kemudian mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk (x + α)(x + β) = 0

1-2208

Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat, koefisien variabel x yang sederajat di ruas kiri dan ruas kanan sama hanya jika α + β = b, dan αβ = c

Kita dapat memfaktorkan x2 + bx + c = 0. Menjadi bentuk (x + α)(x + β) = 0, apabila kita dapat menemukan pasangan (α, β) yang memenuhi α + β= b dan αβ = c.

2. Kasus a ≠ 1

untuk a ≠ 1, persamaan ax2 + bx + c = 0 dapat disederhanakan menjadi 2-2208

 atau x2 + dx + e = 0 dengan 3-2208 dan 4-2208 Selanjutnya diselesaikan seperti yang pertama. Seringkali bilangan d dan e muncul sebagai pecahan sehingga sulit menentukan α dan β yang bersesuaian. Oleh karena itu bentuk ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk 5-2208 dan mencari α dan β yang bersesuaian.

6-2208

Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat, haruslah 7-2208

 dan 8-2208 atau ac= αβ.

Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk 9-2208

jika kita dapat menemukan pasangan (α, β) yang memenuhi α + β= b dan αβ= ac

Berikut ini akan dipaparkan tentang salah satu contoh menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi. Perhatikan baik – baik.

Contoh:

Tentukan nilai- nilai α dan β yang memenuhi persamaan iniα + β = 2 dan αβ = 1 dan α + β = -7 dan αβ = 12.

Hasilnya

α + β = 2 dan αβ = 1 adalah α = 1 dan β = 1

α + β = -7 dan αβ = 12 adalah α = -3 dan β = -4

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini dengan faktorisasi x2 – 9 = 0

Hasilnya

a = 1, b = 0, c =-9. Kasus 1, cari (α, β) dengan α + β= 0 dan αβ = -9

α = 3 dan β = -3

x2 – 9 = 0         (x + 3)(x – 3)= 0

x + 3 = 0          atau     x – 3 = 0          sifat perkalian

x = -3 atau x = 3

Penyelesaianuntuk persamaan kuadrat di atas (akar- akarnya) adalah x = -3 atau x = 3.

Menyelesaiakan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan memang cepat jika kita dapat segera menemukan pasangan (α, β). Tapi seringkali kita kesulitan menemukan pasangan itu. Oleh karena itu, untuk menyelesaikannya dapat menggunakan cara lain yang sedikit lebih panjang dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna artinya mengubah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (x + p)2= q, dengan sifat q ≥ 0. Sifat utama yang digunakan dalam melengkapkan kuadrat adalah

(x + d)2 = x2 + 2dx + d2

Untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna, seringkali perlu menambahkan konstanta pada kedua rumus persamaan. Berikut dijabarkan bagaimana mendapatkan akar kuadrat menggunakan kuadrat sempurna

10-2208

 bagi kedua ruas dengan a.

11-2208

 tambahkan kedua ruas dengan 12-2208

13-2208

Lanjutkan sampai mendapatkan akar-akarnya.

Seteah mendapatkan dua akar persamaan kuadrat, yaitu

14-2208

Kita lihat cara ini akan selalu berhasil untuk mendapatkan akar kuadrat. Keberhasilan menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat bergantung pada kemampuan kita untuk menambahkan kedua ruas dengan konstanta yang tepat ke dalam bentuk 15-2208

Dari pengalaman kita, konstanta yang harus ditambahkan adalah 16-2208

 atau 17-2208

Berikut ini akan diberikan salah satu contoh dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.Perhatikan baik – baik.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut x2 + 2x – 8 = 0 dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.

Hasilnya

x2 + 2x – 8 = 0             tambahkan kedua ruas dengan 8

x2 + 2x = 8                   tambahkan kedua ruas dengan 18-2208

x2 + 2x + (1)2 = 8 + (1)2

x2 + 2x + 1 = 9

(x + 1)2 = 9

x + 1 = ± 3

x + 1 = 3 atau x + 1 = -3

x = 2 atau x = -4

Penyelesaianuntuk persamaan kuadrat di atas adalah x = -4 atau x = 2.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan melengkapkan kuadrat selalu berhasil. Meskipun demikian, terdapat cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, yaitu dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0             kalikan kedua ruas dengan 4a

19-2208

Rumus di atas sering dinamakan dengan rumus abc. Alogaritma rumus itu (dengan melengkapkan kuadrat) dipakai komputer atau kalkulator dalam program menemukan akar persamaan kuadrat. Bentuk b2 – 4ac dinamakan dengan diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , yang dilambangkan dengan D.

Berikut ini akan diberikan salah satu contoh dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus. Perhatikan baik – baik.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut 3x2 – 2x – 8 = 0, dengan menggunakan rumus abc.

Hasilnya

3x2 – 2x – 8 = 0

a = 3, b = -2, dan c = -8

20-2208

Jadi, penyelesaian untuk persamaan kuadrat di atas adalah 21-2208

Demikian pemaparan tentang persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Terdapat tiga langkah dalam menyelesaikan persamaan kudrat, yaitu faktorisasi, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc.

Masing – masing langkah memiliki cara yang berbeda dalam menyelesaikan.Silahkan dipelajari dengan seksama dari contoh – contoh yang telah disampaikan di atas, agar sahabat memahami cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan langkah yang berbeda. Selamat belajar dan sukses selalu.

Referensi:

Kurnianingsih, S., dkk. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: Esis.